Chuyên đề: Đẳng thức – Bất dẳng thức
----(----
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN:
* Các tính chất cơ bản:
(
( (


* Một số bất đẳng thức thông dụng:
( Bất đẳng thức Cô – si: Với n số không âm: ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Hệ quả: với Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
( Bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Với 2n bộ số tương ứng: vàta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
( Bất đẳng thức Trê – bư – sép:
Với hai dãy sắp thứ tự giống nhau: và ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
( Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dấu “=” xảy ra khi
( Hệ quả: Dấu “=” xảy ra khi
( Bổ sung: Với Ta có: * Dấu “=” xảy ra khi
* Dấu “=” xảy ra khi hoặc
( Chuỗi bất đẳng thức cơ bản:
(A - B)2 ≥ 0 (1) ( A2 + B2 ≥ 2AB (2)
(4) ↕ (3)
4AB ≤ (A + B)2 ≤ 2(A2 + B2)
↕ (
(5) (A1+A2+...+An)2 ≤ n
,…(6)
Với các BĐT (1),...,(5): dấu “=” BĐT (6):dấu “=” xảy ra khi
xảy ra khi A = B A1=A2=......=An
II – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CƠ BẢN:
Trong quá trình giải toán về chứng minh bất đẳng thức ta thường bắt gặp hai loại bất đẳng thức phổ biến là: Bất đẳng thức không điều kiện và bất đẳng thức có điều kiện
( Phương pháp 1: Dùng định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
( P2: Để chứng minh ta có thể:
* Chứng minhhoặc hoặc
* Sử dụng các tính chất cơ bản của BĐT để chứng minh BĐT đã cho là BĐT đúng
( Các ví dụ minh hoạ:
( Ví dụ 1: Cho là các số thực. Chứng minh rằng:
* Nhận xét – Tìm hướng giải:
- Vế trái là một tổng các bình phương; vế phải khai triển tích sẽ cho ta 4 tích chứa đều chứa thừa số là a. Do đó xét hiệu (vế trái trừ vế phải) ta sẽ có được tổng của các bình phương.
( GIẢI: Xét hiệu:
M=

Ta thấy:
(ĐPCM)
+ Dấu “=” xảy ra khi
( Ví dụ 2: Cho Chứng minh rằng:
* Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy hiệu của vế trái và vế phải sẽ triệt tiêu hạng tử m.n.p và xuất hiện biểu thức: giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào p. Do đó để chứng minh: ta cần chứng minh:
( GIẢI: Xét hiệu:

Vì : 1)
(2). Từ (1) và (2) suy ra: (ĐPCM)
+ Dấu “=” xảy ra khi:
( Ví dụ 3: Cho hai số thoả mãn điều kiệnChứng minh: (Đề thi vàolớp 10; THPTchuyên Lê Quí Đôn 2003 – 2004)
* Nhận xét – Tìm hướng giải: Đây là bài toán chứng minh BĐT có điều kiện. Ta thấy:
Do đó BĐT trên đúng nếu:
( GIẢI: Từ điều kiện(a)
(b)
Cộng (a) và (b) vế theo vế ta có: Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi
( BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
( Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: (Không có điều kiện ràng buộc của biến)
a) ( HD: Nhân hai vế với 2; chuyển vế xuất hiện dạng
b) với ( HD: Chia hai vế cho chuyển vế xuất hiện dạng
c)
( HD: Xét hiệu:
d)
( HD: Xét hiệu:
e)
( HD: Xét hiệu:
( Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: (Có điều kiện ràng buộc của biến)